FONKSİYON


A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.

" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.


Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.

 

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

      i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

     ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

    iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.

Ü  Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

 

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

      f : A ® IR

     g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B ® IR

   (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A Ç B ® IR

    (f . g)(x) = f(x) . g(x)

iii)


   

 

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

Ü  s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

    A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

   

 

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

Ü  f : A ® B

    f(A) = B ise, f örtendir.

Ü  s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

    m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

 

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü  İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

Ü  s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

 

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

     f : IR ® IR

     f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü  Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

 

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Ü  "x Î A ve c Î B için

     f : A ® B

     f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Ü  s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

 

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü  Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

Ü  Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

 

D. EŞİT FONKSİYON

     f : A ® B

    g : A ® B

"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

 

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

     f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir.

 

F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.

 

 

Ü  Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.

Ü  f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise,

Ü 

 

   

Ü  (f – 1) – 1 = f dir.

Ü  (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.

Ü  y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

 

Ü  B Ì IR olmak üzere,

   

    f(x) = ax2 + bx + c  ise,

   

 

Ü  B Ì IR olmak üzere,

   

   f(x) = ax2 + bx + c  ise,

  

 

G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

      f : A ® B

    g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

 

2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri

i) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

   fog ¹ gof

 

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez.

 

ii) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

    fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii) foI = Iof = f

    olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

iv) fof – 1 = f – 1of = I

    olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.